Глава 15 — Глава 15. Убери свои лапы!

Ли Чжэньдун бросил взгляд на Чжан Юаня и, заметив на его лице загадочную улыбку, обращенную к экрану телефона, так и замер. «Ну всё, бабу себе нашел». В его душе ярким пламенем вспыхнуло пламя сплетника. Он украдкой глянул в экран. Нет, не то – неужели он и правда возится в приложении «Супермозг»? Ли Чжэньдун невольно поморщился и с досадой проворчал: — Ты что, и впрямь такой старательный? — Да скучно просто, решил задачками развлечься. Посмотри на этот интеграл, какое изящное решение. На самом деле интегральных выражений, для которых можно найти аналитическое решение, очень мало. «Развлечься…» «Развлечься…» «Раз…» У Ли Чжэньдуна на лбу вздулись вены, дыхание участилось. Он вспомнил университетские годы: Чжан Юань вечно сидел с таким же прилежным собачьим видом, из-за чего самому Ли Чжэньдуну вечно влетало от родителей. — Посмотри на него и посмотри на себя! — Голос отца словно до сих пор звучал в ушах. Ли Чжэньдун невольно занервничал. Этот тип после выпуска не только не остепенился, но стал еще хуже. Решение задач у него теперь считается «высшим развлечением»? Не слишком ли он крут?! — Слушай, — сказал Ли Чжэньдун, — у моей сестры там какая-то игра не поддается, развивающая. Тебе все равно скучно, так что попробуй, глянь. — Игра? — Ну давай, показывай. Заметив недобрый блеск в глазах приятеля, Чжан Юань проявил интерес. Насколько сложной может быть детская забава? Маленькая девочка протянула ему обучающий планшет, на котором была открыта программка под названием «Игра в свет». Суть была такова: на панели расположена матрица ламп размером четыре на четыре. При нажатии на любую лампу она сама и соседние – сверху, снизу, слева и справа – меняют свое состояние: светящиеся гаснут, погасшие загораются. Цель игры – серией манипуляций добиться того, чтобы все лампы погасли. — Это же элементарно. Чжан Юань нажал несколько раз, все огни погасли – уровень пройден. На экране возникла новая картинка: матрица пять на пять, причем в центре несколько ламп уже были выключены. — Сложность возросла. Чжан Юань немного подумал, сделал пару нажатий и снова победил. В этот раз времени ушло чуть больше. Очевидно, что с увеличением размера поля игра становилась всё труднее. — Я вот о чем подумала… — девочка, часто хлопая ресницами, робко произнесла: — Если будет очень большая очередь из ламп, и их начальное состояние будет произвольным… Существует ли какой-то математический алгоритм, чтобы решить эту задачу, а не просто тыкать наугад? Чжан Юань почесал затылок и с улыбкой ответил: — А у твоей сестренки отличное математическое мышление. Универсальный алгоритм… Хм, дай подумать… — Еще бы, у нее больше половины моего интеллекта! — Вклинился Ли Чжэньдун. — Братик, я умнее тебя! — Это в каком же месте ты умнее? Ли Чжэньдун ухмылялся и снаружи, и в душе. Эта задача была чертовски сложной. А почему? Да потому что он, Ли Чжэньдун, сам над ней какое-то время размышлял, но так и не раскусил. «Так что, братец Чжан, любитель задачек, думай на здоровье. Думай, пока в глазах не потемнеет, пока день с ночью не перепутаешь…» Заставить лучшего друга опозориться перед младшей сестрой – какое наслаждение! Какое облегчение! — Ладно, я в душ. А ты сиди, решай потихоньку. Девочка с ожиданием смотрела на Чжан Юаня. Сама она такую задачу точно бы не осилила, но как автор вопроса чувствовала себя крайне гордой. Однако реакция Чжан Юаня их поразила. Он с легким смущением произнес: — Да не стоит. Подожди пока с душем, я уже всё решил. Что? Решил? Глаза Ли Чжэньдуна едва не вылезли из орбит. Он уже выбежал из ванной, но тут же сконфуженно вернулся, чтобы накинуть одежду. Чжан Юань начал уверенно объяснять: — Согласно условию, одно нажатие меняет состояние самой лампы и четырех соседних. Отсюда мы делаем вывод: для любой конкретной лампы нечетное количество нажатий дает тот же эффект, что и одно нажатие. Четное же количество эквивалентно отсутствию нажатий, то есть нулю. Это звучало любопытно. — Следовательно, если у задачи есть решение, на каждую лампу нужно нажать максимум один раз, либо не нажимать вовсе. — Для начала рассмотрим матрицу N на N. По сути, это операция в бинарном поле, которая изоморфна матрице полного ранга. А раз матрица имеет полный ранг, у нее обязательно есть единственное решение… Услышав это, Ли Чжэньдун почувствовал, как голова готова взорваться, а озарение хлынуло фонтаном. Постойте-ка. Кажется, всё именно так… Это же элементарная задача. Как же я сам не додумался? Он не выдержал и в отчаянии закричал: — Как ты можешь использовать теорию групп?! Как семиклассница поймет теорию групп? Не смей так поступать с моей сестрой! Даже мама Ли Чжэньдуна выглянула посмотреть, что происходит. Убедившись, что они просто спорят, она покачала головой и вернулась на кухню. — Ну хорошо, — согласился Чжан Юань. — Системы линейных уравнений с несколькими переменными в средней школе уже проходили? Девочка кивнула. Системы с двумя переменными – это действительно школьная программа, их решают методом исключения или методом подстановки. С тремя или четырьмя переменными тоже можно разобраться. Чжан Юань продолжил: — Предположим, что Aij – это количество нажатий на лампу в i-й строке и j-м столбце. Очевидно, как я уже сказал, Aij принимает значение либо 1, либо 0. — Давай возьмем простейшую матрицу два на два. Пусть начальное состояние «выключено» – это 0, а «включено» – это 1. — Допустим, начальное состояние матрицы такое: Верхний ряд: один, ноль. Нижний ряд: ноль, ноль. — Тогда можно составить четыре уравнения: сумма нажатий для каждой лампы должна изменить ее состояние до итогового нуля. — Решив систему, получим, что нужно нажать на три лампы, и порядок нажатий не имеет значения. — Любую задачу с матрицей N на N можно рассчитать так же, и решение всегда будет. А вот для прямоугольных матриц N на M решение существует не всегда, и вот почему… Ли Чжэньдун едва не плакал, видя, как в глазах сестры постепенно разгорается обожание, и в них даже зажигаются маленькие звездочки! Хотя он прекрасно понимал, что сестра, скорее всего, ничего не смыслит в его объяснениях… Но всё же! В этом возрасте девочки наивны и чисты, в их головах только учеба, и они совершенно не могут устоять перед такими «умниками»! Всё, восхищение сестры братом нагло украдено чужаком! Тут он услышал, как сестра спрашивает: — А почему в этом плюсике внутри кружочек? — Потому что это операция в бинарном поле: один плюс один равно нулю, один плюс ноль равно единице. В программировании это называется операция XOR… Если использовать обычный плюс, могут получиться отрицательные числа. — Братик Чжан, ты так много всего знаешь! — Поэтому нужно больше стараться. Иначе будешь как твой брат: талант есть, а толку ноль. От ума нет пользы, если его не применять… «Скотина, он еще и глумится надо мной!» «Чтоб ты провалился!» — Братик Чжан, а помоги мне с олимпиадной математикой? Там столько заданий, которые я не понимаю. А мой брат мне не помогает. — Ну… ладно. «Моя сестра еще несовершеннолетняя!» — Убери свои лапы! — Ли Чжэньдун громко закашлялся, предупреждая: — Я в душ. Чтобы без глупостей, мои родители дома! — А? Чжан Юань в замешательстве почесал затылок. Девочка невольно надулась и закатила глаза. Она уже в средней школе и много чего понимает. Даже если бы она влюбилась, родители бы не стали возражать. Ей казалось, что у ее родного брата явно не всё в порядке с головой, а вот этот братик Чжан – человек вполне нормальный…