Том 4 Глава 281 — Глава 306 Проблема понижения размерности систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных

Хотя награждение Чан Хаонаня добавило работы пресс-службе университета, Тан Линтянь не забыл о своем обещании, данном несколько дней назад. Всего за несколько дней университет подключил доступ к нескольким основным научным базам данных через внешнюю сеть. С тех пор, как Чан Хаонань полгода назад всерьез задумался о создании нового программного обеспечения для имитационного моделирования, он ясно осознавал, что исследование многофизичных полей, особенно сильно связанных, по сути, сводится к решению систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Но на практике, в инженерной сфере, все оказывается гораздо сложнее, чем просто слова. Особенно учитывая невысокую вычислительную мощность современных суперкомпьютеров. Для подавляющего большинства дифференциальных уравнений в частных производных невозможно найти аналитическое решение, по крайней мере, в ближайшее время, и приходится работать с численными решениями. Многие изящные с математической точки зрения методы решения не всегда применимы на практике. Традиционно для понижения размерности динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, используются методы, основанные на дискретизации переменных, такие как метод конечных элементов, метод конечных объемов и метод конечных разностей, которые считаются тремя китами в этой области. Но существуют и другие подходы. Например, статья, которую Чан Хаонань случайно увидел однажды вечером, отдыхая в компьютерном зале. Несмотря на то, что это была статья по прикладной математике, она была опубликована в журнале, казалось бы, совершенно не связанной области — химической инженерии. Chemical Engineering Journal Журнал, который через десять с лишним лет станет весьма известным, но в то время был лишь недавно основанным и неприметным изданием. Его внимание привлекла аннотация, написанная настолько заманчиво, что он не удержался и скачал статью со скоростью несколько килобайт в секунду. «В настоящее время широко используемые методы конечных разностей и конечных элементов для понижения размерности динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, позволяют получить только системы обыкновенных дифференциальных уравнений очень высокой размерности. За последние сорок лет методы понижения размерности систем на основе разделения переменных получили стремительное развитие. При выполнении определенных условий эти методы позволяют избежать некоторых фундаментальных проблем, связанных с методами, основанными на пространственной дискретизации, и понизить размерность динамических систем, описываемых определенным классом нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, до более низкой размерности, что облегчает быстрый анализ, расчет, оптимизацию и реализацию активных контроллеров. Эти методы могут быть применены для численного анализа задач термомеханической связи, часто встречающихся в химической инженерии…» Хотя конкретная рассматриваемая проблема не имела ничего общего с проектированием летательных аппаратов, упомянутая термомеханическая связь была как раз той фундаментальной и неотложной проблемой, с которой столкнулся Чан Хаонань. Эта аннотация попала прямо в точку. Он был уверен, что несколько месяцев назад, когда Лу Юйин впервые увидела его статью в Ронгчене, она испытала то же чувство просветления. Несколько минут загрузки показались вечностью. Чан Хаонань неотрывно смотрел на медленно ползущий по экрану индикатор выполнения и почти в тот же момент, как загрузка завершилась, открыл документ. «Как известно, любая непрерывная функция может быть приближенно представлена разложением в ряд Фурье. Основываясь на этом принципе, пространственно-временные переменные в нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных могут быть разложены в ряд в виде суммы бесконечномерного множества базисных функций и соответствующих им временных коэффициентов: X(z, t) = Σ (i=1, ∞) φi(z)xi(t) где xi(t) — временной коэффициент, соответствующий каждой базисной функции φi(z)…» Действительно, очень базовые понятия. Метод разделения пространственно-временных переменных не был чем-то новым, его можно было найти в любом учебнике по математическим методам физики или аналогичной литературе. Однако обычно считалось, что для применения метода разделения переменных дифференциальные уравнения в частных производных должны обладать определенными свойствами, такими как линейность, однородность, разделимость переменных, коэффициенты, зависящие только от одной переменной, и так далее, что сильно ограничивало применение этого метода. Поэтому Чан Хаонань быстро пропустил эту часть и перешел непосредственно к третьему разделу, который обычно является первым разделом основной части статьи: «Для подробного и четкого изложения метода понижения размерности динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в этом разделе в качестве объекта рассмотрения используется система параболических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных…» «Вот оно!» Увидев интересующий его материал, он воспрянул духом, и даже легкая сонливость мгновенно исчезла. Граничные и начальные условия задаются следующим образом: где x(z, t) — пространственно-временная переменная состояния, являющаяся непрерывной функцией, определенной в бесконечномерном гильбертовом пространстве на пространственной области [a, b]. z ∈ [a, b] — пространственная координата, являющаяся подпространством области определения процесса, t ∈ [0, ∞) — временная переменная… … В конечном итоге, выражение для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в гильбертовом пространстве H([a, b]) можно записать в виде: dx(z, t)/dt = Ax(z, t) + Bu(z, t) + f(x, z, t) x(z, 0) = x0(z) Ниже приведены два примера моделирования: одномерное безразмерное уравнение Курамото-Сивашинского и температурное и поле давления в неизотермическом трубчатом реакторе…» «Хм… неплохо…» — Чан Хаонань, дочитав до этого места, понимающе кивнул. «В общем,» — он вытащил лист бумаги из принтера рядом и начал рассуждать вслух, подводя итоги. «Во-первых, выбираем подходящие пространственные ортогональные базисные функции и применяем метод разделения пространственно-временных переменных к динамической системе, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. То есть раскладываем пространственно-временные переменные системы по выбранным или найденным ортогональным пространственным базисным функциям, подставляем разложение в исходную систему и применяем нелинейный метод Галеркина…» Час пролетел незаметно, пока он писал и рисовал. Хотя в статье для иллюстрации теории использовалась очень простая параболическая система, два приведенных примера применения были достаточно хороши, чтобы оправдать заявления автора в аннотации. Эта статья даже заслуживала публикации в более влиятельном журнале, и то, что она оказалась здесь, скорее всего, объяснялось тем, что автор и главный редактор работали в одном университете, и автор получил приглашение на публикацию. Более того, подводя итоги, Чан Хаонань обнаружил то, о чем сам автор не упомянул. Метод, описанный в статье, можно было применять не только для расчета теплопередачи и течения жидкости, но, с небольшими изменениями, даже для решения задач массопереноса и моделирования самих химических реакций. Другими словами, он охватывал все основные характеристики химико-технологических процессов: «три переноса и одна реакция». Конечно, то, что автор не написал об этом, не обязательно означало, что он этого не заметил. Возможно, он приберег эти идеи для другой статьи… «Однако… проблемы все же есть», — Чан Хаонань посмотрел на три исписанных листа черновика перед собой. Хотя область применения метода была очень широка, это не означало, что он был универсальным ключом, который можно было напрямую использовать в задачах, интересующих Чан Хаонаня. «Использование собственных функций в качестве пространственных базисных функций в сочетании с методом взвешенных невязок для понижения размерности динамических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, позволяет получить конечномерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующую бесконечномерную динамику исходной системы. Однако по сути это все еще линейная аппроксимация, которая недостаточна для действительно сильно нелинейных задач. С другой стороны, если в процессе понижения размерности использовать другие пространственные базисные функции, такие как функции ряда Фурье или ортогональные базисные функции, они могут не иметь никакой связи с характеристиками самой динамической системы, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных…» Размышляя об этом, он посмотрел в сторону соседней комнаты, где стоял суперкомпьютер. В теории, конечно, все было прекрасно, но если начать расчеты… Поскольку вычислительный центр, за который он отвечал, был запущен совсем недавно, проектов, использующих его, было немного. Тем не менее, нагрузка на суперкомпьютер уже была довольно высокой. Если бы это было через десять лет, то, возможно, можно было бы выполнить расчеты по методу, описанному в статье. Но с учетом текущего уровня суперкомпьютеров в стране, расчет термоэлектромеханической связи для антенной решетки радара с фазированной антенной решеткой мог бы занять годы… За это время можно было бы построить и испытать прототип. Так дело не пойдет. «А если использовать метод балансной усеченности или метод оптимизации?..» — кончик ручки Чан Хаонаня снова заскользил по бумаге. Вскоре четвертый и пятый листы черновика тоже были исписаны. Из машинного зала доносился скрип и гудение работающего оборудования. Луна за окном поднялась от горизонта до середины неба, а затем постепенно опустилась, уступая место восходящему солнцу. «Я понял».